৬, ৯, ১৪ এই ধারার ১২তম পদ- 

প্রদত্ত ধারাটি হলো: \(৬, ৯, ১৪, \dots\)

ধারাটির পরপর দুটি পদের পার্থক্য বিবেচনা করি:
২য় পদ - ১ম পদ = \(৯ - ৬ = ৩\)
৩য় পদ - ২য় পদ = \(১৪ - ৯ = ৫\)

দেখা যাচ্ছে, পার্থক্যগুলো বিজোড় সংখ্যার একটি সমান্তর ধারা তৈরি করছে: \(৩, ৫, ৭, ৯, \dots\)

পার্থক্যগুলোর সাধারণ পদ হলো \((2n + 1)\), যার প্রথম পদ \(a = ৩\) এবং সাধারণ অন্তর \(d = ২\)।

কোনো ধারার পার্থক্যের সমান্তর ধারা থাকলে, মূল ধারার \(n\)-তম পদ নির্ণয়ের সূত্র:
\(a_n = \text{১ম পদ} + \text{পার্থক্য সমান্তরের } (n-1) \text{ সংখ্যক পদের সমষ্টি}\)

পার্থক্যগুলোর \((n-1)\) টি পদের সমষ্টি:
\(S_{n-1} = \frac{n-1}{2} \times [2 \times 3 + (n - 1 - 1) \times 2]\)
\(= \frac{n-1}{2} \times [6 + 2n - 4]\)
\(= \frac{n-1}{2} \times (2n + 2)\)
\(= (n - 1)(n + 1)\)
\(= n^2 - 1\)

অতএব, ধারাটির \(n\)-তম পদ = \(৬ + (n^2 - 1) = n^2 + ৫\)

এখন, ১২তম পদ নির্ণয় করি:
\(a_{12} = ১২^২ + ৫ = ১৪৪ + ৫ = ১৪৯\)

ধারাটির পদগুলোর প্যাটার্ন পর্যবেক্ষণ করি:
১ম পদ: \(১^২ + ৫ = ১ + ৫ = ৬\)
২য় পদ: \(২^২ + ৫ = ৪ + ৫ = ৯\)
৩য় পদ: \(৩^২ + ৫ = ৯ + ৫ = ১৪\)

সুতরাং, ধারাটির \(n\)-তম পদের সাধারণ রূপ = \(n^2 + ৫\)
অতএব, ধারাটির ১২তম পদ হবে = \(১২^২ + ৫ = ১৪৪ + ৫ = ১৪৯\)